Poliedros(Exercícios resolvidos usando a Relação de Euler)

01.(FAAP/SP)Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces.

Solução:

De acordo com o enunciado, temos:

A = V + 6

Usando a Relação de Euler e substituindo A de acordo com a igualdade acima:

V + F = 2 + A

V + F = 2 + V + 6  ► F = 8

02.(FATEC/SP) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Qual é o número de vértices desse poliedro?

Solução:

Do enunciado, sabemos que

Número de faces: 3 + 2 + 4 = 9

Número de arestas:

3 faces com 4 lados: 3 . 4 = 12

2 faces com 3 lados: 2 . 3 = 6

4 faces com 5 lados: 4 . 5 = 20

Somando: 12 + 6 + 20 = 38

Atenção:

 As faces são unidas, duas a duas, por uma aresta. Ao contarmos todas as arestas de todas as faces, cada aresta é contada duas vezes, uma para cada face "grudada" nela. Assim, esse número, na verdade, é o dobro do número real de arestas do poliedro. Logo:

A = 38 ÷ 2 = 19.

Usando, agora, a Relação de Euler, temos:

V + F = 2 + A

V + 9 = 2 + 19

V = 21 - 9  ► V =  12.

03.Num poliedro convexo, o número de faces é 8 e o número de arestas é 12. Qual é o número de vértices desse poliedro?

Solução:

Usando a relação de Euler, temos:

V + F = A + 2

V + 8 = 12 + 2

V = 6

04.Um poliedro convexo possui 2 faces triangulares e 3 faces quadrangulares.Determine o número de arestas e de vértices desse poliedro.

Solução:

Número de arestas 18 arestas

2 faces triangulares ►2 x 3 = 6

                              

3 faces quadrangulares ►3 x 4 = 12

Uma aresta é comum a 2 faces, então

2A = 18 ► A = 9.

Número de vértices:

V + F = A + 2 F = 2 + 3

V + 5 = 9 + 2 F = 5

V = 11 – 5   ►  V = 6

05.Arquimedes descobriu um poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas regulares. Esse poliedro inspirou a fabricação da bola de futebol que apareceu pela primeira vez na Copa do Mundo de 1970. Quantos vértices possui esse poliedro?

Solução:

Como o poliedro tem 12 faces pentagonais, então:

12 ● 5  = 60

O poliedro tem 20 faces hexagonais, assim

20 . 6  = 120,

logo: 

 F = 12 + 20 = 32

Cada aresta foi contada duas vezes, portanto temos:

2A = 60 + 120 ► 2A = 180(÷2) ► A = 90

Como o poliedro é convexo, vale a relação de Euler,

V – A + F = 2, portanto:

V – 90 + 32 =2

V = 2 + 90 – 32  ► V = 60

06.Determinar o número de arestas e o número de vértices de um poliedro convexo com 6 faces quadrangulares e 4 faces triangulares.

Solução:

Como o poliedro tem 6 faces quadrangulares, calculamos: 6 ● 4 = 24

O poliedro tem 4 faces triangulares: 4 ● 3 = 12

Como cada aresta foi contada duas vezes, o número total de arestas é:

  A = (24+12)/2 = 18 ►A = 36/2 ► A = 18

Temos então

 F  = 10, A = 18.

Aplicando a relação de Euler:

V – A + F = 2

V – 18 + 10 = 2 ► V = 10

07.Determinar o número de arestas e de vértices de um poliedro convexo com seis faces quadrangulares e quatro faces triangulares.

Solução:

6 faces quadrangulares ► 6 ● 4 = 24 arestas

4 faces triangulares  ►4 ●3 = 12 arestas

Número total de arestas = 36

Como cada aresta foi contada duas vezes, temos:

2A = 36(÷2)  ►  A = 18

Aplicando a relação de Euler, temos:

A + 2 = V + F ► 18 + 2 = V + 10 ►20 – 10 =  V ► 10 = V

08.Num poliedro convexo, o número de faces é 8 e o número de vértices é 12. Calcular o número de arestas.

 Solução:

A + 2 = V + F 

A + 2 = 12 + 8  ► A + 2 = 20 ►A = 18

09.Um poliedro convexo de 28 arestas possui faces triangulares e heptagonais . Quantas faces tem de cada espécie , se a soma dos ângulos das faces é 64 retos?

Solução:

►S = 360●(V-2)

64●90 = 360●(V-2) (÷90)

64 = 4(V-2) (÷4) ►16 = V - 2

 16 + 2= V \ 18 = V

►V + F = A + 2

18 + F = 28 + 2 ►F = 30 – 18 ► F = 12

Sabemos que:

Número total de faces = 2●Arestas

Sendo x  o número de faces triangulares, temos:

3.x + 7(12-x) = 2. 28   ► 3x + 84 - 7x = 56

4x = 28  ►  x = 7

Portanto o poliedro possui 7 faces triangulares e 5 faces heptagonais.

10.A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é 2520º . Dê o número de faces desse poliedro , sabendo que ele possui 17 arestas .

Solução:

►S = (V – 2)●360⁰

2520⁰ = (V – 2)●360⁰ (÷ 360⁰)

V – 2 = 7 ►V = 7 + 2 ► V = 9

►V + F = A + 2

9 + F = 17 + 2

F = 19 – 9 ► F = 101

11.Um poliedro convexo de 15 arestas tem somente faces quadrangulares e pentagonais .

Quantas faces tem de cada tipo se a soma dos ângulos das faces é 32 retos ?

A soma dos ângulos das faces é dada pela fórmula:

S = (V - 2)●4r

Então:

(V - 2)●4r = 32r  ► (V - 2) = 32r/4r

V - 2 = 8   ►  V = 8 + 2 = 10

Usando a formula de Euler( V - A + F = 2), temos:

10 -15 + F =2  ► F = 2 + 5 = 7

Chamando de x o número de faces quadrangulares e y o número de faces pentagonais, temos:

x + y = 7 ► x = 7 – y

Sabemos que:

Número total de faces = 2●Arestas

Logo, vem:

4x + 5y = 2●15

4(7 – y) + 5y = 30 ►28 – 4y + 5y = 30

y = 30 – 28 ►  y = 2

Logo, x = 5

Portanto, o poliedro possui 5 faces quadrangulares e 2 pentagonais

Prof.:Roberto Calazans

"O espírito enriquece-se com o que recebe; o coração com o que dá."

                                    (Victor Hugo)

"Leia o texto abaixo e depois leia de baixo para cima"

Não te amo mais.

Estarei mentindo dizendo que

ainda te quero como sempre quis.

Tenho certeza que nada foi em vão.

Sinto dentro de mim

que você não significa nada.

Não poderia dizer jamais que

alimento um grande amor.

Sinto cada vez mais que

já te esqueci.

E jamais usarei a frase

Eu te amo!

Sinto, mas tenho que dizer a verdade.

É tarde demais...

Clarice Lispector

Aula 25.05. 2013

#Aulão 25.05.2013 ufpe from Rodrigo Lucas

Loucura odiar ...

Loucura odiar todas as rosas porque um espinho te feriu. Desistir de todos os esforços porque um deles fracassou. Condenar todas as amizades porque uma deles te traiu. Não crer mais no amor porque um deles foi infiel. Jogar fora todas as chances de ser feliz porque uma tentativa não deu certo. Lembre-se: sempre há outra chance, outra amizade, outro amor. Mas nunca outra vida.

Autor por mim desconhecido

Correios - Simulado de Matemática

Correios simulado de matemática from Rodrigo Lucas

Aulão 05-05-2013

Aulão 05 05-2013 from Rodrigo Lucas

SAMU - Informação importante

Os médicos e paramédicos das ambulâncias de emergências médicas perceberam que, muitas vezes, nos acidentes da estrada, os feridos têm um celular consigo. No entanto, na hora de intervir com estes doentes, não sabem qual a pessoa a contatar na longa lista de telefones existentes no celular do acidentado. 

Para tal, o SAMU lança a idéia de que todas as pessoas acrescentem, na sua longa lista de contatos, o NÚMERO DA PESSOA a contatar em caso de emergência. Tal deverá ser feito da seguinte forma: AA Emergência (as letras AA são para que apareça sempre este contato em primeiro lugar na lista de contatos). 

É simples, não custa nada e pode ajudar muito ao SAMU, ou a quem nos acuda, a nos acudir. Se lhe parecer correta a proposta que lhe fazemos, passe esta mensagem a todos os seus amigos, familiares e conhecidos. 

É tão somente mais um dado que registramos no nosso celular e que pode  ser a nossa salvação.

Por favor, divulguem essa informação

Fonte: JOSIANE TROCATTI 

Coordenadora Administrativa 
SAMU - Serviço de Atendimento Móvel de Urgência