Matemática e Textos: setembro 2011

01.Certa quantidade de sacos precisam ser transportadas e para isto dispõem-se de jumentos. Se colocarmos dois sacos em cada jumento, sobram treze sacos; se colocarmos três sacos em cada jumento, sobram três jumentos. Quantos sacos precisam ser carregados?

a)44 b)45 c)57 d)22 e)30

Solução I:

Sendo x o número de sacos e y , o número de jumentos, temos:

I)x = 2y + 13

II)x = 3(y – 3)

Logo, vem :

3(y – 3) = 2y + 13

3y – 9 = 2y + 13

3y – 2y = 13 + 9

Y = 22

Como x = 3(y – 3), temos:

X = 3(22 – 3)

X = 3 ● 19 ► x = 57

Resposta: Alternativa C

Solução II:

Sendo x o número de sacos temos:

(x – 13)/2 = (x + 9)/3

3x – 39 = 2x + 18

3x – 2x = 18+39

x = 57

Resposta: Alternativa C

02.A Câmara de um determinado município é composta de 45 vereadores, sendo 4/9 deles da base governista, 1/3 de oposição e o restante proveniente de partidos pequenos, que não são nem governistas nem de oposição. Para votar qualquer projeto de lei municipal, é necessário que estejam presentes pelo menos um vereador de cada um dos três grupos citados. Se a única informação que o prefeito deste município dispõe durante cada reunião da Câmara é o número de vereadores presentes, para ter certeza de que os projetos de lei municipal em pauta naquele dia serão votados, é necessário que ele obtenha o número mínimo de

a) 10 vereadores presentes.

b) 11 vereadores presentes.

c) 20 vereadores presentes.

d) 35 vereadores presentes.

e) 36 vereadores presentes.

Solução:

●Base governista ►4/9 ● 45 = 20

●Oposição ► 1/3 ● 45 = 15

●Pequenos partidos ►10

Para haver votação é necessário pelo menos um de cada um dos três grupos.

Assim, o número mínimo é igual a:

20 + 15 + 1 = 36

Resposta: Alternativa E

03.Observando o seguinte moto de uma das Cantigas de Luís Vaz de Camões, o qual é uma redondilha maior: Deu, Senhora, por sentença Amor, que fôsseis doente, para fazerdes à gente doce e fermosa a doença. Lembramo-nos do caso de Paula que, em razão do nascimento de sua filha, decide fazer um investimento de R$1000,00 para cobrir os gastos com qualquer eventual doença que a filha possa vir a ter. Depois de um determinado número de anos, Paula resolve realizar o lucro do investimento, já que sua filha apresentava uma saúde perfeita. Sabendo que o investimento foi feito a uma taxa de juros compostos de 1%a.m, e que Paula deixou os R$1000,00 investidos por um número de anos igual ao número de sílabas de uma redondilha maior, assinale a alternativa que mais se aproxima do montante do investimento de Paula quando ela realizou o lucro.

a)R$2000

b)R$2000●(1 + 0,1)

c) R$1000●(1+ 0,01)⁸⁴

d) R$ 1000●(1+0,01)⁷

e) R$ 1000●(1+1)⁵

Solução:

O número de sílabas de uma redondilha maior é sete, logo o número de anos pelos quais o dinheiro ficou investido foi sete. Sete anos equivalem a 84 meses. A taxa mensal é de 1%, ou seja, 0,01. O investimento inicial foi de R$1.000,00 Logo, o montante será:

M = C●(1+i)ⁿ

M = 1000●(1+0,01)⁸⁴

Resposta: Alternativa C

04.Uma jóia é considerada de ouro 18 quilates se n/24 de sua massa for de ouro, sendo n um número inteiro maior ou igual a 1 e menor ou igual a 24.Uma aliança de ouro 15 quilates tem massa igual a 4g. Para transformar essa aliança em outra de 18 quilates, mantendo a quantidade dos outros metais, é necessário acrescentar em sua liga, uma quantidade de gramas de ouro puro equivalente a:

a)1,0 b)1,5 c)2,0 d)3,0 e)2,5

Solução:

Por definição, uma aliança será de 18 quilates se 18/24 de sua massa for de ouro,sendo 1 ≤ n ≤ 18 , com n N. Então, inicialmente a aliança era de 15 quilates. Sendo m a massa de ouro inicial , temos:

(15/24) ● 4 = m ►60/24 = m ► 2,5g = m

Sendo x a massa, em gramas de ouro, que devemos acrescentar a aliança para que a mesma seja de 18 quilates, temos:

(18/24)●(4 + x) = 2,5 + x

(3/4)●(4 + x) = 2,5 +x

12 + 3x = 10 + 4x

12 – 10 = 4x – 3x ► 2g = x

Resposta: Alternativa C

05.A Terra completa uma volta ao redor do Sol em 365,242190 dias aproximadamente, e não em 365 dias. Para corrigir essa diferença, existem os anos bissextos, com 366 dias. Convencionou-se que um ano n é bissexto se, e somente se, uma das seguintes condições for verificada:

condição 1: n é um múltiplo de 400.

condição 2: n é um múltiplo de 4 e n não é múltiplo de 100.

Com base nessa convenção, podemos afirmar que:

a) poderá haver um ano n bissexto, sem que n seja um múltiplo de 4.

b) se n, n ≥ 2012, é divisível por 4, então o ano n será bissexto.

c) o ano 2200 não será bissexto.

d) o ano 2400 não será bissexto.

e) o ano 2500 será bissexto.

Solução:

Um ano é bissexto quando é divisível por 4. Caso termine em dois zeros ,só será bissexto se for divisível por 400.

Como o ano de 2200 termina em dois zeros , mas , não é divisível por 400, podemos concluir que o ano de 2200 não será bissexto

Resposta : Alternativa C

06.(FGV- 2006) Pedro tirou Menos de uma centena de fotos da festa de comemoração ao seu aniversário e quer colocá-las todas num álbum de 20 páginas. Em cada Página desse álbum cabem, no máximo, 10 fotos.Inicialmente, Pedro tentou colocar 6 fotos em cada página. Ao final, depois de preenchidas algumas páginas do álbum, ficou sobrando uma foto. Em nova tentativa, dispôs 7 fotos por página e ainda assim sobrou uma foto.Finalmente, Pedro conseguiu colocar todas as fotos, de modo que cada página contivesse o mesmo numero de fotos. Quantas páginas do álbum Pedro preencheu?

Solução:

Vamos indicar as seguintes incógnitas:

n = número total de fotos tiradas (n < 100)

p = número de páginas utilizadas (p ≤ 10)

Assim,da 1^a tentativa: (n – 1) é divisível por 6 da 2 ^a tentativa:

(n – 1) é divisível por 7 \ (n – 1) é divisível por MMC (6 , 7) = 42

Como n < 100, há 2 possibilidades:

n – 1 = 42 ►n = 42 + 1 ►n = 43 ou

n – 1 = 84 ►n = 84 + 1 ►n = 85

Pedro não conseguiria colocar 43 fotos no álbum de modo que cada uma das 20 páginas contivesse o mesmo número de fotos menor ou igual a 10, pois 43 é um número primo.

Logo, n = 85 = 5 ● 17 e, como em cada uma das 20 páginas do álbum cabem no máximo 10 fotos, Pedro preencheu 17 páginas do álbum, cada uma com 5 fotos.

Resposta: Alternativa B

07.O preço de cada jabuticaba é igual ao número de jabuticabas que posso comprar com R$2,00.Quantas jabuticabas posso comprar com R$2,50 ?

a)16 b)32 c)64 d)84 e)100

Solução:

Sendo:

P = preço de cada jabuticaba

J = número de jabuticabas

n = número de jabuticabas que posso comprar com R$2,00

Temos:

I)32p = n

II)n● P = 2

Logo, vem:

32p ●p = 2

32p² = 2(÷ 2)

16p² = 1

p² = 1/16

p = (1/16)^1/2

p =1/4

Como 32p = n, temos:

32 ● 1/4 = n ► 8 = n

Logo, resolvendo uma regra de três simples, temos:

32 jabuticabas------------ R$8,00

J Jabuticabas ------------R$25,00

8J = 32 ●25

8J = 800(÷8) ►J = 100

Resposta: Alternativa E

08.Um presidiário, ao escapar da penitenciária, entra num galpão do porto e consegue dar continuidade a fuga numa embarcação que navega sobre as águas à velocidade constante de "x" km/h. A polícia chega ao galpão do porto 42 minutos após e continua a perseguição ao presidiário em uma outra embarcação que navega sobre as águas numa velocidade constante de "(x + 6)" km/h. Sete horas após a saída da polícia em perseguição ao fugitivo, ela o alcança.

- A velocidade da embarcação da polícia foi de:

a) 60 km/h d) 66 km/h
b) 6 km/h e) 72 km/h
c)1km/h

Solução:

Obs.: 42minutos : 60 = 0,7horas

A distância percorrida pela embarcação da polícia até alcançar o fugitivo foi igual a:

(x+6)·7

A distância percorrida pela embarcação do presidiário até ser alcançado pela polícia foi igual a:

7x + 0,7x

Sendo assim , temos:

(x + 6) . 7 = 7x + 0,7x

7x + 42 = 7x + 0,7x

42 = 0,7x (.10)

420 = 7x (: 7)

60 = x

Logo, a velocidade do carro da polícia foi de (x + 6)km/h, ou seja:

(60 + 6)km/h.

66km/h

Resposta: Alternativa D

09.Se 3 homens embrulham 72 ovos de Páscoa em 15 minutos, e 4 mulheres embrulham 120 ovos em 18 minutos, quantos ovos são embrulhados por 2 homens e 3 mulheres em 20 minutos?

a)130 b)155 c)164 d)176 e)180

Solução:

► cada um separado:

I)os homens:

ovos minutos homens

72-- ---- 15 ------- 3
x ------ 20 ------- 2

► analisando as grandezas:

•quanto mais ovos, de mais tempo precisamos► diretamente proporcional.

quanto mais ovos, de mais homens precisamos► diretamente proporcional.

► Resolvendo a regra de três, temos:

72/x= 15/20• 3/2

72/x= 3/4•3/2

72/x= 9/8

9x= 72•8 → x= 8•8 → x= 64 ovos

II)as mulheres:

ovos ---- minutos --- mulheres

120 ----- 18 ----- 4

x ------- 20 -------- 3

120/x= 18/20 • 4/3

120/x= 9/10 • 4/3

120/x= 3/5 • 2/1

120/x= 6/5 →6 • x= 120 • 5 →x= 20•5 →x=100 ovos

► homens e mulheres juntos nos 20 minutos:

64+ 100=164 ovos

Resposta: Alternativa C

10.Uma costureira confecciona 40 blusas em 3 dias de 7 horas de trabalho: outra costureira confecciona o mesmo número de blusas em 2 dias de 9 horas. Trabalhando juntas, em quantos dias de 7 horas farão 260 blusas?

a)10 b)15 c)8 d)9 e)11

Solução:

A 1^a costureira confecciona 40 blusas em 3 dias de 7 horas, ou seja ,40 blusas em 21 horas. Logo, em 1 hora ela irá confeccionar 40/21 blusas.

A 2^a costureira confecciona 40 blusas em 2 dias de 9 horas, ou seja,40 blusas em 18 horas. Logo, em 1 hora ela irá confeccionar 40/18= 20/9 blusas.

Trabalhando juntas, para confeccionar 260 blusas em x dias de 7 horas, elas levarão:

(40/21 + 20/9)●7●x =260 obs.:mmc(21 , 9) = 63

(120 + 140)/63 ●7x = 260

260/63 ● 7x = 260

7x = 63(÷7) ► x = 9

Resposta: Alternativa D

11.Ana fez 2/5 de um tapete em 8 horas e Clara fez 1/3 do restante em 6 horas. Se trabalharem juntas, terminarão o tapete num tempo igual a quanto?

a)4 horas e 48 minutos

b)3 horas e 52 minutos

c)5 horas e 10 minutos

d)3 horas e 54 minutos

e)4 horas e 36 minutos

Solução:

●Ana fez 2/5 do tapete em 8 horas.Logo,em 1 hora,ela fará:

2/5 ÷ 8 = 2/40 = 1/20 do mesmo.

●Clara fez 1/3 do restante,ou seja 1/3 ● 3/5 = 1/5 do tapete em 6 horas.Logo, em 1 hora , ela fará 1/5 ÷ 6 = 1/30 do mesmo.

As duas juntas já fizeram 2/5 + 1/5 = 3/5 do tapete. Para terminar os 2/5 que restam, as duas trabalhando juntas , levarão x horas.Sendo assim ,temos:

(1/20 + 1/30)●x = 2/5 obs.:mmc(20 , 30 ) = 60

(3+2)/60 ●x = 2/5

5/60 ●x = 2/5

x = 120/25

x = 4 horas e 48 minutos

Resposta: Alternativa D

12.Havia 9 dias que Thiago trabalhava e tinha realizado 3/8 de uma certa obra, quando Lucas chegou para ajudá-lo e juntos,levaram 3 dias para terminá-la. Em quantos dias Lucas teria realizado o trabalho sozinho?

a)6 b)3 c)9 d)18 e)12

Solução:

Em 9 dias Thiago realizou 3/8 da obra.Logo, em 1 dia, ele realiza:

3/8 ÷ 9 = 3/72 = 1/24 da obra.

Quando Lucas chegou para ajudá-lo,faltavam 1 – 3/8 = 5/8 da obra, que deveriam ser realizados em 3 dias.

Nestes três dias Thiago realizou 3 ● 1/24 = 1/8 da obra.

Sobraram assim 5/8 – 1/8 = 1/2 da obra que Lucas realizou em 3 dias.

Logo, resolvendo uma regra de três simples, obtemos o número de dias que Lucas teria realizado o trabalho sozinho.Vejamos:

1/2 da obra ------------ em 3 dias

1 inteiro da obra ------------ em x dias

Portanto, temos:

x ● 1/2 = 1 ● 3 ► x = 6 dias

Resposta: Alternativa A

13.Consultado sobre a intenção de voto em relação às eleições para governador do Estado, um grupo de eleitores revelou que é favorável à reeleição, exatamente 50% das mulheres e 30% dos homens, perfazendo 42% dos eleitores.Supondo-se que todas as pessoas do grupo foram necessariamente favoráveis ou contrárias à reeleição, pode-se afirmar que o percentual do grupo de eleitores correspondentes às mulheres contrárias à reeleição é de :

a)30% b)28% c)25% d)18% e)20%

Solução:

Sendo m o número de mulheres e h , o número de homens,temos:

(50/100)●m + (30/100)●h = (42/100)(m + h) (●100)

50m + 30h = 42(m + h)

50m + 30h = 42m + 42h

50m – 42m = 42h – 30h

8m = 12h(÷4)

2m = 3h

m/h =3/2

Logo, m = 3/5 do total de eleitores e h = 2/5 desse total.

Portanto, m = 3/5 ● 100 = 60%

Como 50% = 1/2 das mulheres são contrárias à reeleição, este número é:

1/2 ● 60 = 30

Resposta: Alternativa A

14.Um bolo foi dividido em 35 fatias: 20 finas e 15 grossas. Se cada fatia grossa equivale a três finas, então 5 fatias finas representam uma fração do bolo igual a:

a)1/13 b)1/15 c)1/20 d)1/30 e)1/16

Solução:

Total de fatias do bolo = 35

Total de fatias finas =20

Total de fatias grossas = 15

Como cada fatia grossa equivale a 3 fatias finas, temos que 15 fatias grossas equivale a 15 ● 3 = 45 fatias finas. Logo o bolo equivale a 20 + 45 = 65 fatias finas.Portanto, 5 fatias finas representam 5/65 = 1/13 do bolo.

Resposta: Alternativa A

15.No epitáfio de um célebre geômetra grego, Diofante, está escrito: “Eis o túmulo que encerra Diofante – maravilha de contemplar! Com artifício matemático a pedra ensina a sua idade.Deus concedeu-lhe passar a sexta parte de sua vida na juventude; um duodécimo na adolescência; um sétimo, em seguida, foi escoado num casamento estéril. Decorreram mais cinco anos, depois do que lhe nasceu um filho. Mas este filho – desgraçado e, no entanto, bem amado! – apenas tinha atingido a metade da idade do pai, morreu. Quatro anos ainda, mitigando a própria dor com o estudo da ciência dosnúmeros, passou-os Diofante, antes de chegar ao término de sua existência.”

Quantos anos Diofante viveu?

a)84 b)92 c)78 d)86 e)76

Solução:

Sendo x o número de anos que Diofante viveu, temos:

x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x

Logo, x = mmc(6,12,7,2) ► x = 84

Resposta: Alternativa A

16.Para a festa de Natal de uma determinada empresa, o vinho está acondicionado em um tonel com capacidade para 218 l e será engarrafado em garrafas de 9 dl. Para quem não bebe vinho, 0,80 m³ de guaraná serão engarrafados em garrafas com capacidade de 0,5 l e, para quem preferir água, 19 l de água serão acondicionados num recipiente que, vazio, pesa 780g. Se 1 l de água pura “pesa” 1kg, então, o número total de garrafas completamente cheias e o “peso” do recipiente para água, quando estiver com os 19 l de água, serão, respectivamente:

a) 1624 garrafas e 19,78 kg

b) 1624 garrafas e 26,80 kg

c) 1018 garrafas e 26,80 kg

d) 1842 garrafas e 26,80 kg

e) 1842 garrafas e 19,78 kg

Solução:

Lembrete :

1 l = 10dl

1m³ = 1000 l = 10³l

1g = 0,0001kg =10^-³ l

O tonel comporta 218 l = 218 l ●10 = 2180 dl de vinho.Logo, podemos engarrafar 2180 l/9 dl 242 garrafas de vinho.

Para engarrafar 0,80m³ = 0,80 ●10³ = 800 l de guaraná serão necessárias:

800 l/0,5 l = 8000 l/5 l = 1600 garrafas

Portanto, ao todo serão necessárias 242 + 1600 = 1842 garrafas.

O recipiente de ”peso” 780g =780g ● 10^-³ = 0,780kg com os 19 l = 19kg de água “pesará”:

19kg + 0,780kg = 19,78kg

Resposta: Alternativa E

17.Um fazendeiro repartiu 240 bois entre seus três herdeiros da seguinte forma: o primeiro recebeu 2/3 do segundo e o terceiro tanto quanto o primeiro e o segundo juntos. Quantos bois recebeu o primeiro herdeiro?

a)36 b)52 c)48 d)64 e)32

Solução:

Sendo x o número de bois que o 2⁰ herdeiro recebeu, temos que

O 1⁰ recebeu ► 2x/3

O 3⁰ recebeu ►x + 2x/3 = 5x/3

Logo, vem:

2x/3 + x + 5x/3 = 240 (●3)

2x + 3x + 5x = 720

10x = 720(÷ 10) ► x = 72

Portanto, o 1⁰ recebeu:

2x/3

2●72/3

2● 24

48 bois

Resposta: Alternativa C

18.Com relação à dengue, o setor de vigilância sanitária de um determinado município registrou o seguinte quadro, quanto ao número de casos positivos:

– em fevereiro, relativamente a janeiro, houve um aumento de 10% e

– em março, relativamente a fevereiro, houve uma redução de 10%.

Em todo o período considerado, a variação foi de

a) – 1%. b) – 0,1%. c) 0%. d) 0,1%. e) 1%.

Solução:

Sendo n o número de casos positivos em janeiro e, considerando a variação solicitada como a diferença, em porcentagem, do número de casos positivos em março e em janeiro, nesta ordem, tem-se:

I) Número de casos em fevereiro: 1,10 n

II) Número de casos em março: 0,90●1,10 n = 0,99 n = (1 – 1%) n.

Assim sendo, a variação foi de – 1%.

Resposta: Alternativa A

19.Dois revisores estão a verificar duas cópias do mesmo manuscrito. O primeiro detectou trinta erros e o segundo ,apenas vinte e quatro.Quando compararam as duas revisões, constataram que apenas vinte erros foram detectados, simultaneamente por ambos.Quantos erros é presumível que ainda existam e que não tenham sido detectados nem por um nem pelo outro?

a)6 b)4 c)1 d)3 e)2

Solução:

Suponha que existem n erros no total e que o primeiro revisor detectou 1/x do total de erros, e que o segundo revisor, detectou 1/y .Sendo assim, temos:

n/x = 30 e n/y = 24

Dos n/x que o primeiro detectou, o segundo terá detectado 1/y. Logo, os dois juntos detectaram um total de n/xy = 20 erros.Portanto, o número de erros esperados é:

(30●24) ÷ 20 = 36

Os dois juntos encontraram 30 + 24 – 20 = 34 erros

Sendo assim , é esperado que qualquer um dos revisores apresente uma média de apenas 36 – 34 = 2 erros não detectados.

Resposta: Alternativa E

20. Réis é o plural do nome das unidades monetárias de Portugal, do Brasil e de outros países lusófonos durante certos períodos da história (singular:real).Conto de réis é uma expressão adotada no Brasil e em Portugal para indicar um milhão de réis. Sendo um conto de réis correspondente a mil vezes a importância de um mil-réis que era a divisionária, grafando-se o conto por Rs. 1:000$000 ou R$ 1,000000 (sendo o real 1/1.000.000 de um conto-de-réis em representação matemática decimal atual), pois o réis tinha sua representação real-imperial em "milésimos-de-mil" contos-de-réis), sendo uma moeda de grande-valor intrínseco e imperial, com representatividade em aproximadamente oito gramas de ouro, como também assim o era a representação da libra esterlina também imperial, de então, tanto no Brasil como em Portugal e Algarves.Em Portugal, por ocasião da proclamação da República, esta moeda foi substituída pelo escudo na razão de 1 escudo por mil-réis. Mesmo após a substituição do real pelo escudo, continuou a utilizar-se a expressão conto, agora para indicar mil escudos.No Brasil, esta moeda foi substituída da mesma forma, pelo cruzeiro em 1942, na razão de 1 cruzeiro por mil-réis então circulantes.

Uma fatura antiga revela que setenta e dois perus foram comprados por “- 67 –“ mil réis.O primeiro e o último algarismo estão ilegíveis.Quanto é que custava , nessa época, cada peru ?

a)23 réis b)36 réis c)51réis d)48 réis e)64 réis

Solução:

Temos que 72 = 8 ● 9.Logo, a quantidade de perus é dividida por 8 e por 9.Como é divisível por 8, os milhares são divisíveis por 8.Portanto, o número 67- é um múltiplo de 8 e, por isso, o último algarismo é o 2.

Como a quantidade de perus é divisível por 9, a soma dos algarismos do número que representa essa quantidade, é divisível por 9. Portanto, o primeiro algarismo é o 3.

Sendo assim, a fatura indica uma despesa de 3672 mil réis, e cada peru custava 3672/72 = 51réis.

Resposta: Alternativa C

prof.: Roberto Calazans

“O futuro pertence àqueles que acreditam na beleza dos seus sonhos”

(Eleanor Roosevelt)

Matemática e Textos

quarta-feira, 28 de setembro de 2011

Parlamentares mais caros do mundo

domingo, 25 de setembro de 2011

Irmã Maria e Irmã Léia

quinta-feira, 8 de setembro de 2011

Questões Resolvidas de Matemática VIII

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