Questões Resolvidas de Matemática I

01.(UNIFESP)Imagine uma fila de 50 portas fechadas e outra de 50 estudantes, portas e estudantes numerados conforme a posição em sua fila. Do primeiro ao qüinquagésimo e em ordem crescente, o estudante que ocupa a n-ésima posição na fila deverá fechar ou abrir as portas de números n, 2n, 3n, ... (ou seja, múltiplos de n) conforme estejam abertas ou fechadas, respectivamente, não tocando nas demais. Assim, como todas as portas estão inicialmente fechadas, o primeiro estudante tocará em todas, abrindo-as. O segundo estudante tocará apenas nas portas de números 2, 4, 6, ..., fechando-as, pois vai encontrá-las abertas. O terceiro estudante tocará apenas nas portas de números 3 (fechando-a), 6 (abrindo-a), 9 (fechando-a) e assim por diante. Se A significa “aberta” e F “fechada”, após o qüinquagésimo estudante ter realizado sua tarefa, as portas de números 4, 17 e 39 ficarão, respectivamente,

a) F, A e A.                                                    

b) F, A e F.              

c) F, F e A.                                            

d) A, F e A.

e) A, F e F.                                              

Solução:

Como os estudantes tocarão aquelas portas que são múltiplos de seu número , cada porta será tocada pelos  estudantes cujo número é um divisor do número da porta.Portanto, temos que:

●A porta 4 será tocada pelos estudantes 1 , 2 e 4 (3 toques), logo essa porta estará aberta (A);

●A porta 17 será tocada pelos estudantes 1  e 17 (2 toques), logo essa porta estará fechada (F);

●A porta 39 será tocada pelos estudantes 1 , 3 , 13 e 39 (4 toques), logo essa porta estará fechada (F);

Resposta: item E

02.Certo dia um professor de matemática desafiou seus alunos a descobrirem as idades x, y, z, em anos, de seus três filhos, dizendo ser o produto delas igual a 40. De pronto, os alunos protestaram: a informação “x  . y  . z = 40” era insuficiente para uma resposta correta, em vista de terem encontrado 6 ternas de fatores do número 40 cujo produto é 40. O professor concordou e disse, apontando para um dos alunos, que a soma x + y + z das idades (em anos) era igual ao número que se podia ver estampado na camisa que ele estava usando. Minutos depois os alunos disseram continuar impossível responder com segurança, mesmo sabendo que a soma era um número conhecido, o que levou o professor a perceber que eles raciocinavam corretamente (chegando a um impasse, provocado por duas ternas). Satisfeito, o professor acrescentou então duas informações definitivas: seus três filhos haviam nascido no mesmo mês e, naquele exato dia, o caçula estava fazendo aniversário. Neste caso a resposta correta é:

a) 1, 5, 8.                                d) 1, 1, 40.

b) 1, 2, 20.                              e) 2, 4, 5.

c) 1, 4, 10.

Solução:

As ternas encontradas pelos alunos foram:

●(1,1,40)►produto =1x1x40=40 e soma=1+1+40=42

●(1,1,20)►produto=1x2x20=40 e soma=23

●(1,4,10)►produto=1x4x10=40 e soma=1+4+10=15

●(1,5,8)►produto=1x5x8=40 e soma=1+5+8 =14

●(2,2,10)►produto=2x2x10=40 e soma=2+2+10=14

●(2,5,4)►produto=2x5x4=40 e soma 2+5+4=11

Como a soma deu dois valores iguais a 14, presume-se que o número inscrito na camisa é 14, portanto dupla resposta.Mas a informação principal foi "o meu filho caçula, faz aniversário hoje", isto significa que ele tem apenas 1 filho que é caçula e não dois (2,2,10), logo a resposta é 1, 5 e 8 .

Resposta: Item A

03.Dois irmãos, Thiago e Lucas, decidiram brincar de pega-pega. Como Thiago é mais velho, enquanto Lucas dá 6 passos, Thiago dá apenas 5. No entanto, 2 passos de Thiago equivalem à distância que Lucas percorre com 3 passos. Para começar a brincadeira, Lucas dá 60 passos antes de Thiago começar a persegui-lo. Depois de quantos passos Thiago alcança Lucas?

a)100     b)150    c)200     d)250     e)300

Solução I:

A distância de 60 passos que Lucas percorreu antes de começar a brincadeira corresponde a 40 passos de Thiago. Enquanto Thiago dá 5 passos, Lucas dá 6 passos, mas a distância que  Lucas percorreu equivale a 4 passos de Thiago. Assim a cada 5 passos que Thiago dá, ele se aproxima 1 passo de Lucas.Para alcançar Lucas,Thiago deverá se  aproximar 40 passos, o que ocorrerá quando ele tiver dado 40x5 = 200 passos.

Resolvendo através de uma regra de três, em relação aos passos de Thiago, temos:

A cada 5 passos -----------Aproxima  1  passo

Em  x  passos  ------------Aproxima  40 passos

Logo, vem:

1 ● x = 5 ● 40 ► x = 200 passos

Resposta: Item C

Solução II:

Sendo T o número de passos de Thiago e L , o número de passos de Lucas, temos:

●Razão entre o número de passos de Thiago e Lucas :

T/L = 5/6 \L = 6T/5

●Razão entre as distâncias percorridas por  Lucas e Thiago:

(L + 60)/T = 3/2

Logo, vem:

3T = 2L + 120

3T = 2 ●  6T/5 + 120 (●5)

15T = 12T + 600

15T – 12T = 600

3T = 600 (÷3)►T = 200

Resposta: Item C

04.O diretor de um elenco teatral dizia que tinha tantos artistas do sexo masculino como do feminino. Se incluísse, porém seu próprio nome,cada artista  feminina  teria ao seu lado somente a metade das senhoras, em comparação com os homens. Quanto eram os artistas  ao todo ?

a)6        b)8      c)10     d)12     e)14

Solução I :

Eram  3  atores,  3    atrizes   e   1  diretor. Se acrescentarmos 1 homem (o diretor) e  uma mulher não entrar na questão, pois no texto se diz que ela tem as outras   “a seu lado”, não  podendo ela  portanto  ser  contada  junto, a  diferença será então de 2 pessoas; porém, isto representa a metade do número de homens. Portanto, 4  homens  e  2 mulheres.  Sem o diretor e com 1 mulher a mais, são  3  atores  e  3 atrizes.

Resposta: item A

Solução II :

Sendo m o número de artistas masculinos e f,o   número de artistas femininas, temos: m = f .

Incluindo mais 1 homem (o diretor) no elenco, cada artista feminina teria ao seu lado somente a metade das senhoras em comparação com os homens. Sendo assim,temos:

f - 1 = m + 1  / 2 → 2f-2 = m+1

como m = f ,vem:

2m – 2 = m + 1 ► 2m - m = 1 + 2 ► m = 3 e f =3

Resposta: item A

05.A médica do ambulatório disse : “Tenho duas vezes mais colegas mulheres que colegas homens”. Já outro médico disse: tenho cinco vezes mais colegas mulheres que colegas homens”. No total,quantos médicos e quantas médicas trabalham no ambulatório ?

a)15    b)11    c)9     d)13     e)7

Solução:

Sendo x e y, respectivamente, o número de médicos e médicas do ambulatório,temos:

I)Declaração da médica ► y-1 = 2x

II)Declaração do médico ► y =5(x-1)

Substituindo II em I,vem:

5(x-1) – 1 = 2x

5x-5 – 1 = 2x ►5x-6 = 2x

5x – 2x = 6 ►3x = 6(:3) ► x = 2

Como y = 5(x-1),temos:

Y = 5(2-1) ►y =5.(1)  y =5.

Portanto, o total de médicos e médicas é igual a 7.

Resposta: Item E

06.(OBM)O algarismo das unidades do número   1. 3. 5 . 79 . 97. 113  é:

a)1       b)3       c)5       d)7        e)9 

Solução:

Em toda multiplicação de números ímpares, se um dos  fatores for  o  número  5, o algarismo das  unidades desse produto sempre será o 5.

Resposta: Item C

07.Patrícia mora em São Paulo e quer visitar o Rio de Janeiro num feriado prolongado. A viagem de ida e volta, de ônibus, custa 80 reais, mas Patrícia está querendo ir com seu carro, que faz, em média, 12 quilômetros com um litro de gasolina. O litro da gasolina custa, em média, R$ 1,60 e Patrícia calcula que terá de rodar cerca de 900 quilômetros com seu carro e pagar 48 reais de pedágio. Ela irá de carro e para reduzir suas despesas, chama duas amigas, que irão repartir com ela todos os gastos. Dessa forma, não levando em conta o desgaste do carro e outras despesas inesperadas, Patrícia irá:

a) economizar R$ 20,00.

b) gastar apenas R$ 2,00 a mais.

c) economizar R$ 24,00.

d) gastar o mesmo que se fosse de ônibus.

e) gastar R$ 14,00 a mais.

Solução:

●O custo de combustível é

 900 : 12 × 1,60 = 120 reais;

●com o pedágio, o custo da viagem é

 120 + 48 = 168 reais.

 ●Cada um dos três viajantes irá pagar

168 : 3 = 56 reais.

● Nesse caso, Patrícia irá economizar

80 – 56 = 24 reais.

Resposta: Item C

08.João disse para Maria: “Se eu lhe der um quarto do que tenho, você ficará com metade do que vai me sobrar”. Maria acrescentou: “E eu lhe daria 5 reais, se lhe desse a metade do que tenho”. Juntos, os dois possuem:

a)80 reais                                d)120 reais

b)90 reais                                e)130 reais

c)100 reais

Solução:

Maria tem 10 reais. Se João tem x reais, então

10 + x/4 =(x – x/4) / 2

10 + x/4 = (3x/4)/2

10 + x/4 = 3x/8 (●8)

80 + 2x = 3x

80 = 3x – 2x

80 = x

Logo, os dois juntos possuem  10 + 80 = 90 reais

Resposta: Item B

09.Uma escola precisa comprar mesas e cadeiras novas para seu refeitório,cada mesa com 4 cadeiras, que serão distribuídas nos 3 setores do refeitório. Em cada setor do refeitório cabem 8 fileiras de mesas e, em cada fileira,cabem 14 mesas. Quantas mesas e cadeiras deverão ser compradas?

a)112 mesas e 448 cadeiras           d)336 mesas e 896 cadeiras

b)112 mesas e 1 344 cadeiras         e)336 mesas e 1 344 cadeiras

c)336 mesas e 448 cadeiras

Solução:

Devem ser compradas 8 × 14 × 3 = 336 mesas e 4 × 336 = 1344 cadeiras.

Resposta: Item E

10.Há muito tempo, quando poucas pessoas eram versadas na arte de contar, houve uma grande tempestade no oceano. Um navio, colhido pelo tufão, foi salvo graças ao trabalho excepcional de dois marinheiros. Terminada a borrasca, o capitão, decidido a recompensar os seus dois comandados pelo serviço bem executado, anunciou que dividiria entre eles no dia seguinte o conteúdo de um pequeno baú com moedas de ouro, tendo encarregado o seu imediato dessa tarefa.Acontece que os dois marinheiros eram muito amigos e, querendo evitar o constrangimento de uma partilha pública, um deles, na madrugada, teve a idéia de pegar a sua parte do prêmio. Indo ao baú, este marinheiro separou as moedas em dois grupos idênticos e, para surpresa sua, sobrou uma moeda. Não sabendo como proceder, jogou-a ao mar para agradecer aos deuses a sua sobrevivência e pegou a parte que lhe cabia. Porém, mais tarde, o segundo marinheiro teve exatamente a mesma idéia. Indo ao baú, ele separou as moedas em dois montes iguais e, para sua surpresa, sobrou uma moeda. Jogou-a ao mar como agradecimento pela sua sorte e tomou a parte que lhe cabia da recompensa.Pela manhã os dois marinheiros se sentiram constrangidos em comunicar o procedimento noturno. Assim o imediato separou as moedas do baú em dois grupos e verificou que sobrava uma. Deu a cada um dos marinheiros a sua parte do prêmio e tomou para si a moeda restante como paga pelos seus cálculos. Um dos marinheiros acabou ficando com doze moedas a mais que o outro.Quantas moedas havia no baú?(adaptado de uma questão de vestibular do ITA-SP).

a) 16       b) 23       c) 28       d) 33        e) 47

Solução:

O primeiro marinheiro retirou x moedas, deixou x moedas  e jogou 1 moeda no mar;

O segundo marinheiro retirou y moedas , deixou y moedas e jogou 1 moeda no mar;

Sobraram no baú z moedas para o primeiro , z moedas para o segundo e mais 1 moeda.

Temos então que: x = 2y + 1 e y = 2z + 1

Como o 1⁰ marinheiro ficou com 12 moedas a mais do que o 2⁰ , vem:

x + z – (y + z) = 12

x+ z – y – z =12

x – y = 12

2y + 1 – y = 12

y = 12 – 1 ► y = 11

Como x = 2y + 1 ,temos:

x = 2 ● 11 + 1►x = 22 + 1► x = 23

Logo, no baú havia 2x + 1 moedas, ou seja:

2 ● 23 + 1

46 + 1

47 moedas

Resposta: Item E

prof.: Roberto Calazans

“O interesse precede o conhecimento”.

          (Paulo Freire)