Prova de Matemática PM/PE - 2009 Resolvida

 01.Carlos disse a Renato que era capaz de acertar um número que ele pensasse, fazendo, apenas, 4 perguntas. Renato achou graça e disse: pensei em um número. Então, Carlos disse: some ao número pensado o número 5, multiplique a soma por 3 e subtraia 10 do produto. Informe o resultado das operações, e Renato afirmou 80. Carlos, então, informou corretamente o número que Renato havia pensado. O produto dos algarismos do número que Renato pensou é igual a:

a) 12      b) 15     c) 10    d) 48    e) 50

Solução I :

Sendo x o número pensado, temos:

(x + 5)●3 – 10 = 80

(x + 5)●3 = 80 + 10 ► (x + 5)●3 = 90 (÷3)

x + 5 = 30 ►x = 30 – 5 ►x = 25

Logo, 2●5 = 10

Resposta : item C

Solução II :

Aplicando, de trás para frente, as operações inversas, temos:

►80

►80 + 10 = 90

►90 ÷ 3 = 30

►30 – 5 = 25

Logo, 2●5 = 10

Resposta : item C

02.Sr. Jairo tem três filhos: Pedro, Carlos e José. A razão entre as idades de Pedro e Carlos é 1/3 nessa ordem, e a razão entre as idades de José e Carlos é 1/2. Sabendo-se que a soma das respectivas idades é 99 anos, é correto afirmar que a soma dos algarismos da idade de Carlos é:

a) 9      b) 12      c) 11      d) 16     e) 10

Solução:

Sendo c, j e p , respectivamente, as idades de Carlos ,José e Pedro, temos:

p/c = 1/3 ►p = c/3

j/c = 1/2 ► j = c/2

c + j + p = 99

Logo, vem :

c + j + p = 99

c + c/3 + c/2 = 99 (●6)   ►  6c + 2c + 3c = 594

11c = 594 (÷11) ► c = 54

Portanto, 5 + 4 = 9

Resposta: item A

03.Carlos e Pedro são alunos muito aplicados em matemática. Certo dia, Carlos perguntou a Pedro se ele sabia resolver a seguinte questão: Determine o algarismo das unidades do número (8325474)⁶⁴². Pedro resolveu o problema, chegando ao resultado correto.Qual foi o resultado a que Pedro chegou?

a) 4        b) 2       c) 5      d) 6      e) 1

Solução:

Toda potência de um número inteiro e positivo, cujo algarismo das unidades é 4, tem como algarismo das unidades 6,se o expoente for um número  par diferente de zero (Exs.: 4⁴ = 256 , 14² = 196 , ...), ou 4 , se o expoente for um número  ímpar (Exs.: 4⁵ = 1024 , 14³ = 2744 , ...).

Sendo assim,como o expoente é 642 (um número par), o resultado dessa potência termina em 6.

Resposta: item D

04.Para construir sua casa de praia, Fernando contratou a Construtora More Bem. No contrato, ficou estabelecido que a casa seria entregue em 8 meses, e, se a construtora não cumprisse o prazo, estaria sujeita à multa proporcional ao tempo de atraso. O setor de execução de obras da empresa verificou que, para cumprir o contrato, seriam necessários 20 operários com jornada diária de 6 horas. Seis meses após o início da obra, 5 operários foram demitidos, e a Construtora resolveu não contratar mais operários e concluir a obra com os restantes, aumentando a carga horária destes. Para cumprir o contrato, é CORRETO afirmar que a carga horária passou a ser de

a) 7h/d.                        d) 8h 30 h/d.

b) 8h/d.                        e) 9h/d.                     

c) 7h 20 h/d. 

Solução:

Se nenhum dos operários tivesse sido demitido, os 20 operários, trabalhando 6 horas por dia , terminariam o serviço em 2 meses. Logo, com a demissão dos 5 operários , os 15 operários restantes ,trabalhando x horas por dia, terminariam o serviço em 2 meses. Sendo assim , temos:

n0 de operários	n0 de horas por dia	n0 de meses
20	6	2
15	x	2

Como o  número de meses permaneceu constante, podemos ignorá-lo.Se diminuímos o número de operários , precisaremos trabalhar mais horas por dia.Temos então, uma regra de três inversa.Portanto, vem:

6/x = 15/20 ►15x = 6 ● 20 ► 15x = 120(÷15) \ x = 8 horas/dia

Resposta: item B

05.A Polícia Militar de Pernambuco possui uma frota de 1500 carros, sendo que uma parte utiliza como combustível gasolina, e o restante, bicombustível, que funciona com álcool e gasolina. O novo comandante determinou que, neste total de 1500 carros, 80% dos carros a gasolina e 60% dos bicombustíveis sofressem uma conversão para também funcionar a gás. Sabendo-se que, após a conversão, 840 do total de carros passaram a utilizar dois e somente dois tipos de combustível, é CORRETO afirmar que o número de carros que permaneceram consumindo somente gasolina é igual a:

a) 600     b) 200    c) 120    d) 400   e) 500

Solução:

Sendo:

G = carros a gasolina antes da conversão

B = carros bicombustíveis antes da conversão

Temos:

G + B = 1500

Após a conversão temos que 80% dos carros a  gasolina, ou seja, O,8G , passam a circular com gasolina e gás; 60% dos carros bicombustíveis, ou seja, 0,6B, passam a circular com gasolina, álcool e gás e 40% dos carros bicombustíveis, ou seja 0,4B, continuam circulando a gasolina e álcool.Sendo assim ,temos:

►Total de carros bicombustíveis:   0,8G + 0,4B = 840

Logo, vem:

I)G + B = 1500

II)0,8G + 0,4B = 840

Multiplicando a equação I por - 0,4 , obtemos :

 - 0,4G – 0,4B = - 600.

Somando o resultado obtido com a equação II, temos:

0,4G = 240 (●10) ►4G = 2400 (÷4) ►G = 600

Portanto, antes da conversão tínhamos 600 carros movidos a  gasolina.

Após a conversão,destes 600 carros movidos a gasolina, apenas 20% = 20/100 = 0,2 continuaram rodando somente a gasolina, ou seja: 0,2●600 = 120

Resposta: item C

06.Um número é composto por dois algarismos. Sabendo-se que a soma do algarismo das dezenas com o algarismo das unidades é 8 e que, subtraindo-se o número do número formado, permutando-se o algarismo das unidades com o das dezenas, o resto dessa subtração é um número terminado em 6. É CORRETO afirmar que o produto dos algarismos das dezenas com o das unidades do número é

a) 40     b) 30     c) 45    d) 21     e) 12

Solução:

Se xy é um número de dois algarismos, então, na forma polinomial ele pode ser escrito como xy = 10x + y.

Do enunciado, temos:

n⁰ xy

x + y = 8

n⁰ xy – n⁰ yx = ...6

Logo, vem:

n⁰ xy – n⁰ yx = ...6

10x + y – (10y + x) = ...6

10x + y – 10y – x = ...6

9x – 9y = ...6

9(x – y) =...6

Como x – y é menor que 10 , concluímos que x – y = 4, pois 9●4 = 36

Somando, membro a membro, as equações x + y = 8 e x – y = 4,vem:

2x = 12 (÷2) ►x = 6

Logo, y = 2

Portanto, temos: 6 ●2 = 12

Resposta: item E

07.Três ciclistas A, B e C treinam em uma pista. Eles partem de um ponto P da pista e completam uma volta na pista ao passarem novamente pelo mesmo ponto P. O ciclista A gasta 30 seg , o ciclista B, 45 seg, e o ciclista C, 40 seg, para dar uma volta completa na pista. Após quanto tempo, os três ciclistas passam juntos, no ponto P, pela terceira vez consecutiva?

a)18min.   b)25min.   c)30min.   d)15min.   e)20min.

Solução:

O 1⁰ encontro acontece em um múltiplo de 30, 45 e 40. Logo o 1⁰ encontro acontecerá no MMC(30,45,40), ou seja, em 360 minutos.

O terceiro encontro se dará em 360 ● 3 = 1080 segundos, ou seja, em:

1080seg./60 = 18 minutos

Resposta: item A

08.Uma livraria pretende fazer seu balanço anual. Pedro e João são os contabilistas da Empresa. Se os dois trabalhassem juntos no serviço, eles fariam o balanço em 6 dias, porém, se João trabalhar sozinho, realizará o serviço em 18 dias. Em quantos dias, Pedro, trabalhando sozinho, concluirá o balanço?

a) 15     b)15     c)9     d)8     e)20

Solução:

Seja x o número de dias que Pedro gasta para fazer o balanço. Em 1 dia ele fará 1/x do balanço.

Em 1 dia João faz 1/18 do balanço total e os dois juntos em 1 dia fazem 1/6 do balanço. Em 1 dia os dois juntos farão:

1/18 + 1/x = 1/6      obs.: mmc(18,6,x) = 18x

x + 18 = 3x ►18 = 3x – x ► 18 = 2x (÷2) ► 9 = x

Resposta: item C

09.Uma loja de vendas de computadores fez uma parceria com determinada fábrica, para conceder um desconto de 20% na venda dessa marca. Um certo dia, foi vendido o último computador do estoque, porém a atendente vendeu o computador por R$1500,00, o que causou à loja um prejuízo de R$100,00. Sem a parceria, a loja venderia o computador por um preço cuja soma dos algarismos é igual a:

a) 9   B)13    C)2    D)19   E)3

Solução:

Preço da promoção = R$1500,00 + R$100,00 = R$1600,00.

Com o desconto de 20%, o preço sem promoção seria x. Logo:

0,8x = 1600 (●10) ► 8x = 16000(÷8) ►x = 2000.

Portanto, a soma dos algarismos é 2+0+0+0 = 2

Resposta: item C

10.Resolvendo o sistema abaixo, é CORRETO afirmar que 2xy é igual a

6/X + 5/Y = 4

2/X + 10/Y = 3

a)12  b)24   c)16   d)20   e)18

Solução:

I)6 ● 1/x +  5 ● 1/y = 4

II)2 ● 1/x + 10 ● 1/y = 3

Fazendo 1/x = m e 1/y = n ,temos:

6m + 5n = 4 ●(-2)

2m + 10n = 3

Multiplicando a primeira equação por -2 e somando o resultado obtido com a segunda,vem:

-10m = -5 [÷(-5)] ►2m = 1 ►m = 1/2

Substituindo esse valor encontrado em 2m + 10n = 3 , vem :

2 ● 1/2 + 10n = 3

1 + 10n = 3►10n = 3 - 1► 10n = 2(÷2) ►5n = 1 ►n = 1/5

Como m = 1/x  e n = 1/y ,temos:

1/2 = 1/x ► 2 = x

1/5 = 1/y ► 5 = y

Portanto:  2xy = 2 ● 2 ● 5 = 20

Resposta: item D

prof.:Roberto Calazans