O número 142857

Quando nos referimos aos produtos curiosos, procuramos destacar as singularidades que apresentam certos números pela disposição original de seus algarismos. O número 142857 é,      nesse gênero, um dos mais interessantes da Matemática e pode ser  incluído entre os chamados números cabalísticos.

Vejamos as transformações curiosas que podemos efetuar com esse número.

Multipliquemo-lo por 2. O produto será:    


142857 x 2 = 285714

Vemos que os algarismos do produto são os mesmos do número dado, escritos, porém, em outra ordem.

Efetuemos o produto do número 142857 por 3.

142857 x 3 = 428571

Ainda uma vez observamos a mesma singularidade: os algarismos do produto são precisamente os mesmos do número, alterada apenas a ordem.

A mesma coisa ocorre, ainda, quando o número é multiplicado por 4, 5 e 6.

142857 x 4 = 571428

142857 x 5 = 714285

142857 X 6 = 857142

Uma vez chegado ao fator 7, vamos notar outra particularidade.  O número 142857 multiplicado por 7 dá para produto 999999 formado de seis noves!

Experimentem multiplicar o número 142857 por 8. O produto será:

142857 X 8 = 1142856

Todos os algarismos do número aparecem ainda no produto, com exceção do 7. O 7 do número dado foi decomposto em duas partes 6 e 1. O algarismo 6 ficou à direita, e o 1 foi para a esquerda completar o produto.

Vejamos agora o que acontece quando multiplicamos o número 142857 por 9:

142857 X 9 = 1285713

Observem com atenção esse resultado. O único algarismo do multiplicando que não figura no produto é o 4. Que teria acontecido com esse 4? Aparece decomposto em duas parcelas 1 e 3 colocadas nos extremos do produto.

Do mesmo modo poderíamos verificar as irregularidades que apresenta o número 142857 quando multiplicado por 11, 12, 13,15, 17, 18 etc.

Alguns autores chegaram a afirmar que há uma espécie de coesão, entre os algarismos do número 142857, e que não      permite que esses algarismos se separem.

Vários geômetras notáveis — Fourrey, E. Lucas, Rouse Bali, Guersey, Legendre e muitos outros — estudaram minuciosamente as propriedades do número 142857. Fourrey, em seu livro Récréatiorts Arithmétiques, apresenta-nos o produto do número 142857 por 327451. Ao efetuar essa operação, notamos uma interessante disposição numérica: as colunas dos produtos parciais são formadas por algarismos iguais. Retomemos o número 142857 e determinemos o produto desse número pelos fatores 7, 14, 21, 28 etc, múltiplos de 7. Eis os resultados:

142857 X 7 = 999999

142857 x 14 = 1999998

142857 X 21 = 2999997

142857 x 28 = 3999996

Os resultados apresentam uma disposição muito interessante. O primeiro produto é um número formado de seis algarismos iguais a 9; no segundo produto aparecem apenas cinco algarismos iguais a 9, sendo que o sexto foi "decomposto" em duas parcelas que foram ocupar os extremos dos resultados. E assim por diante.

Como aparece em Aritmética esse número 142857?

Se convertermos a fração ordinária 1/7 em número decimal, vamos obter uma dízima periódica simples cujo período é precisamente 142857. Quem já estudou frações ordinárias e decimais poderá compreender facilmente que as frações ordinárias  2/7 ,  3/7 ,  4/7 ,  5/7  e  6/7 quando convertidas em decimais darão, também, periódicas simples, cujos períodos são formados pelos algarismos 1, 4, 2, 8, 5 e 7 que aparecerão em certa ordem, conforme o valor do numerador. Eis a explicação simples da famosa "coesão" aritmética pretendida por alguns pesquisadores.

Para os antigos matemáticos, o número 142857 era "cabalístico", com propriedades "misteriosas"; estudando, porém, do ponto de vista aritmético, não passa de um período de uma dízima periódica simples. Estão no mesmo caso os períodos das dizimas obtidas com as frações 1/17  ,  1/23 , etc...

O número 142857, que alguns algebristas denominaram "número impertinente", não é, portanto, o único a apresentar   particularidade em relação à permanência de algarismos nos diversos produtos.


Extraído do Livro: Matemática Divertida e Curiosa (Malba Tahan)